唯「でも段々近づいていくから・・なんていい加減なこと、数学で使っていいの？」
律「こまけぇこたぁいいんだよ！！」
紬「今回使った方法は区分求積法って言って、３００年前の数学者がちゃんと証明しているわ。
実は、これが積分が初めて発見されたときに使われた手法なの」
澪「その理論が今まで使われてこうして技術になってるんだから、疑う必要はないさ」
唯「りっちゃん、澪ちゃん、ムギちゃん、ありがとう・・・！！」
律「さあ・・・最後にもうちょっと力を振り絞ってみよう」
律「今までは0から1の範囲の下の面積だった。
今までの話を応用して、一般的な面積、0からaの範囲の面積を求めてみよう」
律「一個一個の長方形の幅はa/nになるから・・・
a/n * (1*a/n)^2 + a/n * (2*a/n)^2 + a/n * (3*a/n)^2 + ..... + a/n * (n*a/n)^2
律「ここで、この中から一個取り出す
４個目を取り出すと、
a/n*(4*a/n)^2
＝(a/n)^3 * 4^2
律「つまり・・・k個目の長方形の面積は(a/n)^3 * k^2だ
これをn個全部足すと
(a/n)^3 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + ..... + n^2)
＝(a/n)^3 * n(n+1)(2n+1)/6
＝a^3/3 + a^3/(3n) + a^3/(6n^2)
律「さあ、ここでnを無限に増やすんだ
aは定数で動かない数だから、nが大きくなっても２、３項目はちゃんと０に近づいてくれる
つまり・・・
（面積）
＝∫[0,a] x^2 dx
＝a^3/3 + a^3/(3n) + a^3/(6n^2) ←のnを無限に大きくして行った末
＝a^3/3
唯「これは・・・！教科書に載ってる公式だよ・・・！！」
律「そうだ！」
律「ああ、ちなみに・・・数学では、『←のnを無限に大きくして行った末』は『lim n→∞』って書くんだ
だから、さっきの式は数学的に書くとこうなる
（面積）
＝∫[0,a] x^2 dx
＝lim n→∞ a^3/3 + a^3/(3n) + a^3/(6n^2)
＝a^3/3
澪「そして実は・・・
『∫』って文字、アルファベットの『S』に似てるだろ？
これは、英語の『和』の意味の『sum』の頭文字から来ているんだ」
唯「『のどか』・・・？」
澪「いや・・・『わ』な」
澪「それは、紛れもなく・・・面積とは、無限個の長方形の和として表されるからなんだ
インテグラルが『S』に似ているのは、『sum』の頭文字を取ったことから来ている」
唯「そうだったんだ！！」
律「これで・・・・積分の本当の意味がわかっただろう
問題を解くには、あとは公式を覚えるだけだ
書店へ歩いて、参考書の「積分」の欄を開いてみろ。
そこに解き方が全て載っている。でも今の唯には、それが全部読めるようになってるはずだよ」
唯「ありがとう・・・みんな！！！
律「おう・・・！！」
唯「でもつまりそれは・・・・！！」
澪「なんだ・・・！？」
唯「これ以上の解説は・・・面倒だということだね・・・！！」
律「その・・・通りだ・・・・！！」
唯が微分積分を学ぶそうです ～完～ ・・・？
･･･ﾃｯﾃﾝ･･･ ﾃﾃｯ ﾃｯﾃﾝ･･･ ﾃﾃｯ･･･
唯「・・・あ、このBGMは・・・！！」
山中「・・・どうも・・・山中任三郎です」
唯澪律紬梓「さわちゃん！！」
山中「あまり私を怒らせないほうがいい」
唯澪律紬梓「」ｻｰｾﾝ
山中「我々はまだ・・・重要な謎を解き明かしていない
秋山さん。」
澪「は、はい！？」
山中「なぜ微分は積分の逆なのか・・・
それを真剣に考えたことはありますか？」
澪「い、いや・・・ただ普通に公式のように使ってました」
山中「そうなのです・・・この重要な関係はしばしばやりすごされ、
結局原理の分からないまま我々は微分の逆として積分を計算する・・・
しかし。実は我々には、すでにこの謎を解き明かす準備が整っているのです」
唯澪律紬梓「マジで！？」
山中「その通りです。」
そして、平沢さん・・・」
唯「は、はい！！」
よく、積分の問題で
∫x^2 dx
- この『dx』を書き忘れただけで、点数を引かれたりしますね」
唯「はい・・・！！あの意味のわからないdx！
よく書き忘れて点を落としてます・・でもなぜそれを！？」
律「お前のテスト採点してんのこのさわちゃんだろうが」
澪「でもたしかに・・・dxの意味は考えたことがない」
山中「そう。あのわけのわからないdx
あれは『∫からdxの間の関数を積分しろ』というもの以上の意味がある。」
山中「最後に、ここでちょっくら、この問を解き明かしたいと思います・・・」
山中「まずは手始めに・・・最後の例で放物線の例で長方形をn分割したとき、
ｋ個目の長方形の幅はa/n、高さは(k*a/n)^2でしたね。」
山中「ここで、今まではy=x^2でしたけれども、
今度は一般的に、y=f(x)の下の面積を求めることを考えましょう。」
律「えっと、図は・・教科書に書いてあるあのイメージでいいんでしょうか」
山中「その通りです。」
山中「すると今度は・・・ｋ個目の長方形は、一個の幅はa/n、高さはf(k*a/n)です
つまり、k個目の長方形の面積はf(k*a/n)a/nになりますね。
これをn個足せばいいから、面積の式はこうなります
f(1*a/n)a/n + f(2*a/n)a/n + f(3*a/n)a/n + .... + f(n*a/n)a/n
山中「さあ・・・この式には規則性がありますね
秋山さん、それはどのような規則性ですか？」
澪「え、えっと・・・
f(k*a/n)a/nのkの部分だけが１，２，３，・・・nって増えてって、他は変わらない・・？」
山中「その通りです。つまり、これは∑を使ってこう書けますね。」
f(1*a/n)a/n + f(2*a/n)a/n + f(3*a/n)a/n + .... + f(n*a/n)a/n
＝∑[k=1,n] f(k*a/n) * a/n
律「シグマ・・・」
山中「大丈夫です。∑の記号を見たら、それは規則性に従って
f(1*a/n)a/n + f(2*a/n)a/n + f(3*a/n)a/n + .... + f(n*a/n)a/n
を計算していると思えばいいのです。」
山中「そして、正確な面積は、nを無限大に飛ばした時でした。つまり・・・
∫[0,1] f(x) dx
＝lim n→∞∑[k=1,n] f(k*a/n)a/n
山中「さて・・・微分の時、xの『微小な』増分のことを『Δx』って書きました」
山中「今回使ってる長方形の幅は微小ですね。幅は、a/nです。だからこれをΔxと書きましょう
するとこうなります・・・」
lim n→∞∑[k=1,n] f(k*a/n)a/n
＝lim n→∞∑[k=1,n] f(kΔx)Δx
＝ ∫[0,1] f(x) dx
唯澪律紬梓「あ・・・！！！」
山中「そう。その通り・・・」
山中「Δはギリシア文字の『d』・・・つまりΔxはdxになり・・・
∑はギリシア文字の『S』・・・『sum』のSです。
∫と同じ、『sum』に由来しています」
澪「・・・うそだろ・・・」
山中「嘘じゃありません。
つまり、今まで書いていた『dx』・・・
その意味は、図形を分割したときの長方形の幅の意味だったのです・・・！」
山中「ちなみに・・・lim n→∞は、分割数を無限に増やすことです
分割数を増やすと、幅・・・Δxが小さくなりますから、
lim n→∞ ∑[k=1,n] f(kΔx)Δx
＝lim Δx→0 ∑[k=1,n] f(kΔx)Δx
こうも書けますね。」
山中「さて・・・F(x)を、『y=f(x)の0からxまでの下の面積』・・・つまりF(x) ＝ ∫[0,x] f(t) dtとおきましょう。」
山中「ここで、微分って、こういう定義でしたね
F'(x) ＝ lim Δx→0 （ F(x) - F(x-Δx) ） / Δx
律「微分が出てきた・・・」
山中「さて、さっきの例では、Δxとはa/nのことでした。
そして、この式をよく見てください。F(x)の意味は、『0からxまでの下の面積』
つまりF(x-Δx)の意味は『0からx-Δxまでの下の面積』・・・つまり、一番右側の長方形だけ省いた面積を表しています」
山中「式で表すと・・・
F(x) ＝ lim n→∞ ∑[k=1,n] f(k*x/n)x/n
F(x-Δx) ＝ lim n→∞ ∑[k=1,n-1] f(k*x/n)x/n
山中「さて、この式を計算してみましょう。
F'(x)
＝lim Δx→0 [F(x+Δx) - F(x)] / Δx
＝lim Δx→0 [ ∑[k=1,n] f(k*x/n)x/n - ∑[k=1,n-1] f(k*x/n)x/n ] / (x/n)
＝lim n→∞ { f(x*n/n)x/n } / (x/n)
＝lim n→∞ f(x*n/n)
＝f(x)
となります。」
山中「さあ・・・いかがでしたか。
dxは、長方形の幅・・・そして、∫は、和を表す。
更に、積分は微分の逆である・・・これこそが、積分の真髄です。
さあ・・・これで私の使命は終わりでしょう。
また皆様に会えるのを、お待ちしています。
山中任三郎でした。」
唯「・・・おお・・・」
澪「・・・すごい・・・」
律「・・・これは・・・」
紬「・・・エキサイティング・・・」
梓「・・・まるで嵐のように・・・」
律「・・・旋風を起こし去っていった・・・！！」
唯「・・・私、数学科行くよ！！！」
澪律紬梓「それはやめとけ」
唯「えー！」
唯が微分積分を学ぶようです ～完～
最終更新：2013年05月15日 21:55
