澪 「なんだよ唯」
唯 「じつは数学でわかんない問題あってさー でっへへへへっ」
澪 「テスト勉強なんてえらいな どの問題？」
唯 「じつはこれなんだけど」
問題：次の式を因数分解しなさい
①１－ｘ＾２
②１＋ｘ＾３
澪 「ああこれは教科書にのってる公式つかえばいいだけだよ」
唯 「えっ? えっ！ どっ どの公式＾＾」
澪 「これだよ これ」
公式
ｘ＾２－ｙ＾２ ＝ （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
ｘ＾３＋ｙ＾３ ＝ （ｘ＋ｙ）（ｘ＾２－ｘｙ＋ｙ＾２）
唯 「えー（´Д｀ ） なんか全然ちがうよ ｙとかあるし」
澪 「ばかだな唯は ｙを１に置き換えればいいだけじゃないか」
「そんなんじゃ 受験のりきれないぞ」
唯 「ブーブー（ ・∀・）」
「でも 澪しゃんのおかげで答えわかったよ」
答え
①１－ｘ＾２ ＝ （１＋ｘ）（１－ｘ）
②１＋ｘ＾３ ＝ （１＋Ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２）
唯 「でもこれってさぁ １－ｘ＾４ とか １＋ｘ＾５ とかならどうなるのかな？」
澪 「えっ！？ うーん そういうのは教科書に載ってないし テストに出ないからいいんじゃないか？」
唯 「そうかな！？ どうかな！？」
澪 「とっ とにかくもう答えはわかったんだから私は帰るよ」
「これから塾にいかなくちゃいけないし あとは自分でなんとかするんだぞ∧＿∧」
唯 「うん 澪しゃん ありがとー（ ´∀｀） がんばってみるよ」
カリカリ カリカリ…
唯「なんか規則性がありそうだ…。でもわかんないや。家に帰ってアイスたーべよっ」
平沢家
唯 「憂～（・∀・ ） さき お風呂入るねっ」
憂 「うん ちゃんとアソコも洗わなきゃめっだよっ」
唯 「わかってるよ ゴマたまってたら臭いもんね」
憂 「……（わかってねぇー）」
１０分後
バタンッ！
唯 「たいへんだ たいへんだよ 憂！」
憂 「おねぇちゃん どうしたの すっぽぽんだよ ああああああああ Ｙａｈｏｏｏｏｏｏ」
唯 「えうれか えうれか えうれか」
憂 「おねえちゃん 落ち着いて 私もすぐに脱ぐからっ！」
唯 「憂のおっぱいなんてこの際どうでもいいよ ちょっと聞いてよ憂」
憂 「◎◇◎∥」
唯の見つけた規則性
１－ｘ＾４ ＝ （１＋ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３）
１＋ｘ＾５ ＝ （１＋ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋ｘ＾４）
唯 「ねぇ 憂 これ合ってるかな？」
憂 「あー あってんじゃね？」
唯 「憂 すごいねっ なんで そんなすぐにわかるの」
憂 「左辺から右辺に因数分解しようとするからむずいんじゃん」
「右辺から左辺に筆算で展開すればよくね？」
ひっさん！
１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３
１＋ｘ
￣￣￣￣￣￣￣￣
１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３
x－ｘ＾２＋ｘ＾３－ｘ＾４
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
１ －ｘ＾４
唯 「ほんとだ すごいね憂 じゃあさ じゃあさ これってさ まとめるとこうなるんだよねっ！」
唯の見つけた公式
１＋（－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１） ＝ （１＋ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２－……＋（－１）＾n・ｘ＾ｎ）
唯 「ってことだよね」
憂 「そだね もう私寝るね」
次の日 学校
唯 「和ちゃん 和ちゃん 私 すごい公式発見したよ」
和 「へー そうなんだ」
「あー この公式ね 等比級数を導く式ね」
唯 「トウヒきゅうすう？」
和 「両辺を１＋ｘでわってみなさい」
唯 「えーと 右辺は１/１＋ｘ とあとうしろにややこしいのがくっついてる」
和 「そうね左辺は？」
唯 「１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋…みたいにずっと続いてるよ」
１ （－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１）
━━━ ＋ ━━━━━━━━━ ＝ １－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋…
１＋ｘ １＋ｘ
和 「右辺の後ろにあるややこしい部分はxが－１より大きくて１より小さければｎを無限大におっきくすれば消えちゃうんだよ」
唯 「え？ 意味わかんないよ」
和 「まず落ち着いて分子を見てみなさい」
唯 「（－１）＾ｎがある」
和 「そうねこれはｎが奇数なら－１で偶数なら１よね。つまりいつも１か－１かどっちかよね」
唯 「そだね」
和 「一番大事なのがその隣のx^(n＋１）ね。これはどういう意味？」
唯 「そんなのｘをｎ＋１回かけたって意味じゃん。それぐらいわかるよ」
和 「じゃあｘが－１と１のあいだにある数字だったとして、ｘをこれでもかってくらい何回もかけてたらどうなる？」
唯 「うーん。よくわかんないや」
和 「じゃあ たとえばｘが1/2だったら？」
唯 「あー それならわかるよ
まず1/2でしょ つぎは１/4 つぎは１/8 で半分ずつになっていっていくらでも小さくなってく」
和 「だから無限回かけざんしたらそのゴールは０になるでしょ。だから分子は－１×０か１×０になって結局０ ＯＫ？」
唯 （和ちゃん 偉そうだ… 腹立つなぁ）
ｎ→無限 なら （－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１）→０
和 「で分母だけどｘは－１と１のあいだの数だから０以外のなにかの数字になるでしょ。その数をとりあえずｃとしとけば ０/cになって結局０になるわけ」
ｘが－１と１の間で ｎ→無限 だったら
（－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１）
━━━━━━━━━ →０
１＋ｘ
唯 「要するにｎが無限に大きくなったらややこしい部分が消えてくれるんだね じゃあ簡単だぁ～」
和 「で もう一度 左辺を見直してほしいんだけど 左辺は初項が１で公比が－ｘの等比数列の和になってるでしょ。だから等比級数の公式になってるの」
減少等比級数の和の公式
１
━━━━━ ＝ １－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋… （ｘが－１と１の間で ｎ→無限）
１＋ｘ
唯 「うーん…」
和 「なにうなってるの唯？」
唯 「これって積分したらどうなるかな？」
「1/１＋ｘは積分したらいくらだっけ？」
和 「１＋ｘを微分したら１になるからlog(1＋ｘ）ね」
「もちろん１＋ｘが正になるようにｘは－１より大きくしないといけないけど」
唯 「じゃあ左辺を積分したら？」
和 「これはわかるでしょ」
「ｘ－１/2・x＾２＋1/3・x^3－１/4/・ｘ＾４＋…」
18の両辺を積分
１ １ 1
log(1＋ｘ） ＝ ｘ － ━ｘ＾２ ＋━ｘ＾３ －━ｘ＾４ ＋…
２ ３ ４
和 「そうね大体あってるわ」
唯 「大体？絶対これで合ってるよ」
和 「だけど左辺は無限に続いてるでしょ。これを普通に積分していいのかがまず問題なのよ。」
「項別積分は大学で習うんだけど今回はｘが－１から１の範囲で唯の公式は正しいわ。」
「ただし－１は含まず１は含んでるけど」
唯 「ややこしいな とにかくｘが１のときはいいんだよね。」
和 「そうね」
唯 「じゃあｘに１を入れてみよっと」
ｘ＝１をいれた場合
log2 = 1 － １/2 ＋ １/3 － １/4 ＋…
唯 「なんかきれいな式になったね」
和 「ほんとね」
唯 「これって対数の意味考えたらeの１－１/2＋１/3-…乗が２になるってことっだよね…」
和 「…」
唯 「じゃあさ」
「eの奇数分の１乗を無限個かけた積をeの偶数分の１乗を無限個かけた積でわったら２になるんだね！」
唯のみつけた公式
e・e^1/3・e^1/5・e^1/7・e^1/9・…
━━━━━━━━━━━━━━ ＝ ２
e^1/2・e^1/4・e^1/6・e^1/8・…
eは自然対数の底
e = 2.7182…
この式が気にってるのでスレたてました
どうもありがとうございました
参考文献
長岡亮介著 「本質の研究 数学Ｉ＋Ａ」 （旺文社）
斎藤正彦著 「はじめての微積分（上）（下）」 （朝倉書店）
ここに>>28の細かい部分が載っています
ＹＥＯ・エイドリアン著 久保儀明・蓮見亮訳 「πとeの話」 （青土社）
>>29の公式はここから引用しました
ほかにも面白い公式がいっぱい載ってます
最終更新：2011年08月20日 17:00
