澪 「なんだよ唯」

唯 「じつは数学でわかんない問題あってさー でっへへへへっ」

澪 「テスト勉強なんてえらいな どの問題?」

唯 「じつはこれなんだけど」


問題:次の式を因数分解しなさい
①1-x^2
②1+x^3


澪 「ああこれは教科書にのってる公式つかえばいいだけだよ」

唯 「えっ? えっ! どっ どの公式^^」

澪 「これだよ これ」


公式
x^2-y^2 = (x+y)(x-y)
x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)


唯 「えー(´Д` ) なんか全然ちがうよ yとかあるし」

澪 「ばかだな唯は yを1に置き換えればいいだけじゃないか」

  「そんなんじゃ 受験のりきれないぞ」

唯 「ブーブー( ・∀・)」

  「でも 澪しゃんのおかげで答えわかったよ」


答え
①1-x^2 = (1+x)(1-x)
②1+x^3 = (1+X)(1-x+x^2)


唯 「でもこれってさぁ 1-x^4 とか 1+x^5 とかならどうなるのかな?」

澪 「えっ!? うーん そういうのは教科書に載ってないし テストに出ないからいいんじゃないか?」

唯 「そうかな!? どうかな!?」

澪 「とっ とにかくもう答えはわかったんだから私は帰るよ」

  「これから塾にいかなくちゃいけないし あとは自分でなんとかするんだぞ∧_∧」

唯 「うん 澪しゃん ありがとー( ´∀`) がんばってみるよ」

 カリカリ カリカリ…

唯「なんか規則性がありそうだ…。でもわかんないや。家に帰ってアイスたーべよっ」



平沢家

唯 「憂~(・∀・ ) さき お風呂入るねっ」

憂 「うん ちゃんとアソコも洗わなきゃめっだよっ」

唯 「わかってるよ ゴマたまってたら臭いもんね」

憂 「……(わかってねぇー)」



10分後

バタンッ!

唯 「たいへんだ たいへんだよ 憂!」

憂 「おねぇちゃん どうしたの すっぽぽんだよ ああああああああ Yahoooooo」

唯 「えうれか えうれか えうれか」

憂 「おねえちゃん 落ち着いて 私もすぐに脱ぐからっ!」

唯 「憂のおっぱいなんてこの際どうでもいいよ ちょっと聞いてよ憂」

憂 「◎◇◎∥」


唯の見つけた規則性

1-x^4 = (1+x)(1-x+x^2-x^3)
1+x^5 = (1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4)


唯 「ねぇ 憂 これ合ってるかな?」

憂 「あー あってんじゃね?」

唯 「憂 すごいねっ なんで そんなすぐにわかるの」

憂 「左辺から右辺に因数分解しようとするからむずいんじゃん」

  「右辺から左辺に筆算で展開すればよくね?」

ひっさん!

1-x+x^2-x^3
      1+x
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
1-x+x^2-x^3
   x-x^2+x^3-x^4
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
1          -x^4


唯 「ほんとだ すごいね憂 じゃあさ じゃあさ これってさ まとめるとこうなるんだよねっ!」


唯の見つけた公式


1+(-1)^n・x^(n+1) = (1+x)(1-x+x^2-……+(-1)^n・x^n)


唯 「ってことだよね」

憂 「そだね もう私寝るね」



次の日 学校

唯 「和ちゃん 和ちゃん 私 すごい公式発見したよ」

和 「へー そうなんだ」

  「あー この公式ね 等比級数を導く式ね」

唯 「トウヒきゅうすう?」

和 「両辺を1+xでわってみなさい」

唯 「えーと 右辺は1/1+x とあとうしろにややこしいのがくっついてる」

和 「そうね左辺は?」

唯 「1-x+x^2-x^3+…みたいにずっと続いてるよ」

 1      (-1)^n・x^(n+1)
━━━ + ━━━━━━━━━ = 1-x+x^2-x^3+…
1+x          1+x


和 「右辺の後ろにあるややこしい部分はxが-1より大きくて1より小さければnを無限大におっきくすれば消えちゃうんだよ」

唯 「え? 意味わかんないよ」

和 「まず落ち着いて分子を見てみなさい」

唯 「(-1)^nがある」

和 「そうねこれはnが奇数なら-1で偶数なら1よね。つまりいつも1か-1かどっちかよね」

唯 「そだね」

和 「一番大事なのがその隣のx^(n+1)ね。これはどういう意味?」

唯 「そんなのxをn+1回かけたって意味じゃん。それぐらいわかるよ」

和 「じゃあxが-1と1のあいだにある数字だったとして、xをこれでもかってくらい何回もかけてたらどうなる?」

唯 「うーん。よくわかんないや」

和 「じゃあ たとえばxが1/2だったら?」

唯 「あー それならわかるよ

   まず1/2でしょ つぎは1/4 つぎは1/8 で半分ずつになっていっていくらでも小さくなってく」


和 「だから無限回かけざんしたらそのゴールは0になるでしょ。だから分子は-1×0か1×0になって結局0  OK?」

唯 (和ちゃん 偉そうだ… 腹立つなぁ)


n→無限 なら (-1)^n・x^(n+1)→0


和 「で分母だけどxは-1と1のあいだの数だから0以外のなにかの数字になるでしょ。その数をとりあえずcとしとけば 0/cになって結局0になるわけ」


xが-1と1の間で n→無限 だったら

(-1)^n・x^(n+1)
 ━━━━━━━━━ →0
     1+x


唯 「要するにnが無限に大きくなったらややこしい部分が消えてくれるんだね じゃあ簡単だぁ~」

和 「で もう一度 左辺を見直してほしいんだけど 左辺は初項が1で公比が-xの等比数列の和になってるでしょ。だから等比級数の公式になってるの」


減少等比級数の和の公式

   1
━━━━━ = 1-x+x^2-x^3+…  (xが-1と1の間で n→無限)
  1+x


唯 「うーん…」

和 「なにうなってるの唯?」

唯 「これって積分したらどうなるかな?」

  「1/1+xは積分したらいくらだっけ?」

和 「1+xを微分したら1になるからlog(1+x)ね」

  「もちろん1+xが正になるようにxは-1より大きくしないといけないけど」

唯 「じゃあ左辺を積分したら?」

和 「これはわかるでしょ」

  「x-1/2・x^2+1/3・x^3-1/4/・x^4+…」


18の両辺を積分
              1     1      1  
log(1+x) = x - ━x^2 +━x^3 -━x^4 +…
              2     3     4


和 「そうね大体あってるわ」

唯 「大体?絶対これで合ってるよ」

和 「だけど左辺は無限に続いてるでしょ。これを普通に積分していいのかがまず問題なのよ。」

   「項別積分は大学で習うんだけど今回はxが-1から1の範囲で唯の公式は正しいわ。」

   「ただし-1は含まず1は含んでるけど」

唯 「ややこしいな とにかくxが1のときはいいんだよね。」

和 「そうね」

唯 「じゃあxに1を入れてみよっと」

x=1をいれた場合

log2 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +…

唯 「なんかきれいな式になったね」

和 「ほんとね」

唯 「これって対数の意味考えたらeの1-1/2+1/3-…乗が2になるってことっだよね…」

和 「…」

唯 「じゃあさ」

  「eの奇数分の1乗を無限個かけた積をeの偶数分の1乗を無限個かけた積でわったら2になるんだね!」



唯のみつけた公式


e・e^1/3・e^1/5・e^1/7・e^1/9・…
━━━━━━━━━━━━━━ = 2
e^1/2・e^1/4・e^1/6・e^1/8・…


eは自然対数の底
e = 2.7182…


この式が気にってるのでスレたてました

どうもありがとうございました


参考文献

長岡亮介著 「本質の研究 数学I+A」 (旺文社)
斎藤正彦著 「はじめての微積分(上)(下)」 (朝倉書店)
  ここに>>28の細かい部分が載っています
YEO・エイドリアン著 久保儀明・蓮見亮訳 「πとeの話」 (青土社)
>>29の公式はここから引用しました
ほかにも面白い公式がいっぱい載ってます