Diffusion Kernels on Graphs and Other Discrete Input Spaces


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Abstract

グラフにおける拡散カーネルの紹介,モチベーション
離散値でも極限をとると,カーネルで一般化できる

Mercer's condition

カーネルであるための必要十分条件

\sum_{x\in{\Omega}}\sum_{x^'\in{\Omega}}f_xf_{x^'}K(x,x^')\geq0  (離散値の場合)

\int_\Omega\int_\Omega f(x)f(x^')K(x,x^')dxdx^'\geq0  (連続値の場合)

拡散カーネルをカーネルとしてよい理由付け

対称行列Hを考えて,要素(i,j)についてのkernel(i,j)を考える

K=e^{\beta H}

exp(対称行列)ならば,Kは半正定値になるため,Kはカーネルである.

拡散カーネルのイメージ

対称行列Hの要素(i, j)がiとjの類似度みたいなものになっているとする.
これの拡散カーネルをとることで, カーネルの定義からある空間での要素(i, j)の内積,つまりiとjの類似度を表すことになる.
拡散カーネルをテーラー展開すると,\betaの項を小さくとることで拡散が抑えられることがわかる.
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