ゲーデルの不完全性定理


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  • ヒルベルト計画
    • 形式的体系の導入
      • 数学を《形式的体系》として表現する
      • すなわち、数学を形式的な記号の列として表現する
    • 無矛盾性の証明
      • 形式的体系に《矛盾がない》事を証明する。
      • すなわち、任意の論理式Aに対して《Aと¬Aの両方は形式的に証明できない》ことを証明する
    • 完全性の証明
      • 形式的体系が《完全である》ことを証明する。
      • すなわち、任意の文Aに対して、《Aと¬Aの少なくとも片方は形式的に証明できる》ことを証明する。


《形式的証明》
論理式a_{1} , a_{2} ,a_{3} ・・・, a_{n}の有限列の一種で、次の条件を満たすもの。
a_{1}は公理である。
a_{2}は公理である。または、a_{1}から推論規則でa_{2}を導ける。
a_{3}は公理である。または、a_{1},a_{2}のどちらか(あるいは両方)から推論規則でa_{3}を導ける。
●・ ・ ・
a_{n}は公理である。または、それ以前の論理式のどれかから推論規則でa_{n}を導ける。


  • ゲーデルの第一不完全性定理
    • ある条件を満たす形式的体系には、以下の両方が成り立つ文Aが存在する
      • その形式的体系には、Aの形式的証明は存在しない。
      • その形式的体系には、¬Aの形式的証明は存在しない。
  • ゲーデルの第二不完全性定理
    • ある条件を満たす形式的体系には、自己の無矛盾性を表現する文の形式的証明は存在しない。