不可能を証明する 現代数学の挑戦


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  • 証明という装置
    • 三段論法
      • AならばBである。
      • また、BならばCである。
      • したがって、AならばCである。
    • 背理法(間接証明の一種)
      • AでないとするとBだ
      • ところが、BだとするとCだ
      • 「・・・」
      • だとするとBでない
      • Bであると同時にBでないという事柄はありえない
      • これは、最初の仮定、Aでないがおかしかったから
      • したがって、Aは正しい
    • 「Aと非Aは両立し得ない」という態度
  • 調べるべき対象が有限か無限かで証明の様子が異なる
    • 有限の場合は全ての場合を検証できることがある。
  • 必要条件と不変量
    • 必要性
      • 「Aが不可能であることを証明しようとしたら、その必要条件Bを発見し、Bでないことを証明すれば良い」
      • AならばB:因果関係を表す
      • Aが正しくてBが正しい
      • Aが間違っている場合は、Bが正しかろうが間違っていようが、そのことに関係なく「AならばB」は正しいとする
      • 「AならばBである」→「Aでないか、あるいは(もしAならば)Bである」
  • 無理量の発見
    • 「有限回のステップでは終わることがない」ことの証明が不可能の証明になる

\sqrt{2}が無理数であることの証明】
xが有理数だと勝てし、x=\frac{p}{q} と置く
ただし、p, q は整数で共通因数を持たない。
x^{2}=2
より、
(\frac{p}{q})^{2}=2
だから、分母を払うと、
p{}^{2}=2q{}^{2}
である。したがって、p{}^{2} が偶数となり、p自身が偶数となる。(奇数の2条は奇数)
したがって、既約性より、qは奇数である(偶数だと2で約分できてしまう。)
pが偶数だから、p=2r で、これを p{}^{2}=2q{}^{2} に代入すると、
4r{}^{2}=2q{}^{2}
よって、
2r{}^{2}=q{}^{2}
となり、同様にして、qは偶数となる。
しかし、奇数かつ偶数である整数は存在しないから、矛盾。
したがって、背理法により、\sqrt{2}が無理数であることが証明された。

【正しいことはいつでも証明できるのか】
-不完全性定理と証明の不可能性-

  • ゲーデル 1906-1978
    • 数学的に正しいのに証明できない定理が存在する
    • ラッセルのパラドックス
      • 集合の規定が数学的にきちんとしているなら、ある対象が集合か否かは一意に決定できるはずである。
      • 集合であって、かつ集合でないものは存在しない。
      • したがって、
        • X={x|xは集合}
      • は、集合になる。
      • しかし、Xも集合だから
        • X∈X
      • つまり、Xは自分自身の要素である。
      • 普通の集合は自分自身を要素に持つことはない。
        • 自分自身を要素として持たない集合を普通の集合と呼ぶ
      • 普通の集合を集めた集合を考える
        • Y={x|xは普通の集合}
      • Yが普通の集合だとすると、YはYに入る資格を持つので、
        • Y∈Y
      • となりYは異様
      • Yが異様とすると
        • Y∈Y
      • となり元々、Yは普通の集合を集めた集合だったので、Yは普通の集合
    • 集合の概念規定がカントルのものでは曖昧すぎることが問題
      • ツェルメル、フレンケルによる集合論の公理の提案

【ヒルベルトの形式主義】
数学で扱うものは有限の記号列とその変形規則である。
許される記号列と許される変形規則を使って、有限の手続きでどのような記号列を導くことができるかを研究すること、
が数学。

【ゲーデルの不完全性定理】
数学の内部には、正しいにも関わらず、形式的な証明という手段では、その正しさを保証することができない定理が存在する。
しかも、そのような正しさが証明という手段では保証できない定理の一つに
「数学が無矛盾である」
という定理がある。
もしも数学が無矛盾なら、その無矛盾性を数学の内部で形式的に証明することはできない。

全数学の完全な形式化というヒルベルトの企ては達成できないということになった。

現代数学は、集合論という枠組みの中で、形式主義で行われている。

【もう一度、証明とは何か】
  • 記号の有限列
  • 数学の定理は、原理的に有限の記号列で表せる
  • 数学の定理とは
    • 数学によって定められた記号列であり、その記号列が表す内容は、記号の意味によって知ることができる
  • 数学とは、
    • 与えられた記号列から、新しい意味のある記号列を導く操作
    • 記号列の変形規則
      • P,P→QからQを導く
      • Pであり、PならばQである、ということからはQという結論が得られる。
    • 記号列Rの証明とは、
      • いくつかの前提となる記号列(これらを通常、公理と呼ぶ)から、有限回の変形規則の適用で、記号列Rを作ることができるということにほかならない。

【数学が無矛盾であるとは?】
この変形規則によって、「Pであると同時にPでない」を意味する記号列
P∧¬P
を導くことが不可能であるということにほかならない。